一种直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法

1.本发明涉及土木工程技术领域，尤其涉及一种直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，用于拱桥结构面内临界屈曲荷载的计算。


背景技术：

2.抛物线拱结构面内屈曲荷载的计算方法，一般有极坐标系下圆弧拱结构屈曲荷载解析方法与直角坐标系下拱结构屈曲荷载数值计算方法两种。
3.第一种是极坐标系下圆弧拱结构面内屈曲解析方法。该方法以静力平衡条件为基础，在变形后的圆弧拱结构上建立极坐标系下的平衡微分方程，利用边界条件求解平衡微分方程的解，进而得到极坐标系下圆弧拱面内屈曲荷载解析。该方法简便可行，但由于直角坐标系与极坐标系下拱结构应变表达式不同，该方法无法用于直角坐标系下抛物线拱面内屈曲荷载的解析。
4.第二种是直角坐标系下抛物线拱面内屈曲数值计算方法。该方法基于有限元基本原理，建立节点、单元、荷载向量与边界条件，通过含有轴向力贡献的单元刚度矩阵与荷载向量建立矩阵方程，求解矩阵方程的特征值与特征向量来得到直角坐标系下拱结构稳定的数值解。数值方法具有较好的问题适应性，但是仅能得到工程实际问题的数值解，无法得到适合工程师使用的实用公式。


技术实现要素：

5.基于此，为了解决直角坐标系下抛物线拱面内屈曲荷载近似解析的问题，提出了一种直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法。
6.本发明提供一种直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，其特征在于，所述方法基于直角坐标系下拱结构面内弯曲应变-位移关系式，得到抛物线拱屈曲后弯矩-位移表达式；基于拱结构屈曲后内力平衡条件，得到直角坐标系下抛物线拱面内屈曲变系数平衡微分方程；由于变系数微分方程没有解析解，首先求解其对应的常系数微分方程满足边界条件下的屈曲变形曲线表达式；将该屈曲变形曲线表达式代入拱结构面内屈曲变系数平衡微分方程，得到该屈曲变形表达式下微分方程的不平衡差；将不平衡差项的平方在全拱范围内积分，对该积分屈曲变形曲线系数求偏导，当一阶偏导等于零且二阶偏导小于零时，此时不平衡差项为极小值，并求得屈曲变形曲线系数，最终得到抛物线拱结构面内屈曲荷载近似解析。
7.进一步的，所述直角坐标系下抛物线拱面内屈曲变系数平衡微分方程为：
[0008][0009]
其中，v”为v的二阶导数，v为拱结构曲线微元变形的竖向位移，k为参数(定义为h
cr
为拱脚水平推力，ei为拱结构材料刚度)，a为拱形系数，ch()为双曲余弦函数。
[0010]
进一步的，所述该屈曲变形表达式下微分方程的不平衡差为：
[0011][0012]
其中，m定义为
[0013]
进一步的，所述不平衡差项的平方在全拱范围内积分结果为：
[0014][0015]
其中，π为不平衡差总和，l为拱结构两拱脚间的水平距离，sh()为双曲正弦函数。
[0016]
进一步的，所述对该误差平方的积分求偏导为：
[0017][0018]
其中：
[0019]
[0020]
进一步的，所述屈曲变形曲线系数为：
[0021][0022]
进一步的，所述拱结构面内屈曲荷载近似解析为：
[0023][0024]
与现有技术相比，本发明的优势如下：
[0025]
本发明的直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法相较于现有技术的优势是，能够快速得到拱结构拱脚临界水平推力的近似结果，力学概念清晰、目标明确、方法简单，使得工程技术人员可以避免使用有限元软件求解，降低了工作量，有利于准确制定控制拱变形的措施，具有明显的技术经济合理性。
附图说明
[0026]
图1为本发明的上承式拱桥受荷载示意图；
[0027]
1为拱轴；2为作用于拱顶的均布荷载q；3为拱脚边界约束；4为拱脚水平推力h
cr
；5为拱脚间的跨度l；6为拱轴屈曲后形态。
具体实施方式
[0028]
下面将结合本发明实例中的附图，对本发明实例中的技术方案进行清楚，完整的描述，所描述的实例仅仅是本发明一方面实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。
[0029]
请参阅图1，本发明提供一种直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，所述方法基于直角坐标系下拱结构面内弯曲应变-位移关系式，得到抛物线拱屈曲后弯矩-位移表达式；基于拱结构屈曲后内力平衡条件，得到直角坐标系下抛物线拱面内屈曲变系数平衡微分方程；由于变系数微分方程没有解析解，首先求解其对应的常系数微分方程满足边界条件下的屈曲变形曲线表达式；将该屈曲变形曲线表达式代入拱结构面内屈曲变系数平衡微分方程，得到该屈曲变形表达式下微分方程的不平衡差；将不平衡差项的平方在全拱范围内积分，对该积分屈曲变形曲线系数求偏导，当一阶偏导等于零且二阶偏导小于零时，此时不平衡差将为极小值，并求得屈曲变形曲线系数，最终得到抛物线拱结构面内屈曲荷载近似解析。
[0030]
请参阅图1，拱轴1的上方具有作用于拱顶的均布荷载q2，拱轴1的下方具有拱脚边界约束3，所述拱脚边界约束3的一端具有拱脚水平推力h
cr
4。其中，5为拱脚间的跨度l；6为拱轴屈曲后形态。
[0031]
(1)直角坐标系下拱结构弯曲应变表达式为：
[0032][0033]
(2)根据欧拉伯努利梁理论，拱的弯曲应变在笛卡尔坐标系中表示为：
[0034][0035]
(3)拱结构屈曲后弯矩表达式为：
[0036][0037]
(4)直角坐标系下拱结构面内屈曲变形曲线表达式为：
[0038][0039]
(5)其对应的常系数微分方程满足边界条件下的屈曲变形曲线表达式为：
[0040][0041]
其中，n为拱结构屈曲模态阶数
[0042]
(6)将步骤(5)代入步骤(4)，得到该屈曲变形表达式下微分方程的不平衡差为：
[0043][0044]
其中，
[0045]
(7)通过对不平衡差项的平方在全拱范围内积分，得到不平衡差总和为：
[0046][0047]
(8)所述对该误差平方的积分求偏导为：
[0048][0049]
其中：
[0050][0051]
(9)要使不平衡差最小，取不平衡差总和的极小值，此时：
[0052][0053]
(10)所述屈曲变形曲线系数为：
[0054][0055]
(11)将代入步骤(10)得：
[0056][0057]
其中：
[0058]
(12由此得到的直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析为：
[0059][0060]
本发明的直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，能够快速得到拱结构拱脚临界水平推力的近似结果，力学概念清晰、目标明确、方法简单，使得工程技术人员可以避免使用有限元软件求解，降低了工作量，有利于准确制定控制拱变形的措施，具有明显的技术经济合理性。
[0061]
最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不限于本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中方面技术特征进行等同替换，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

技术特征：
1.一种直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，其特征在于，所述方法基于直角坐标系下拱结构面内弯曲应变-位移关系式，得到抛物线拱屈曲后弯矩-位移表达式；基于拱结构屈曲后内力平衡条件，得到直角坐标系下抛物线拱面内屈曲变系数平衡微分方程；由于变系数微分方程没有解析，首先求解其对应的常系数微分方程满足边界条件下的屈曲变形曲线表达式，将该屈曲变形曲线表达式代入拱结构面内屈曲变系数平衡微分方程，得到该屈曲变形表达式下微分方程的不平衡差；将不平衡差项的平方在全拱范围内积分，对该积分屈曲变形曲线系数求偏导，当一阶偏导等于零且二阶偏导小于零时，此时不平衡差项为极小值，并求得屈曲变形曲线系数，最终得到抛物线拱结构面内屈曲荷载近似解析。2.根据权利要求1所述的直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，其特征在于，所述直角坐标系下抛物线拱面内屈曲变系数平衡微分方程为：其中，v”为v的二阶导数，v为拱结构曲线微元变形的竖向位移，k为参数(定义为h
cr
为拱脚水平推力，ei为拱结构材料刚度)，a为拱形系数，ch()为双曲余弦函数。3.根据权利要求2所述的直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，其特征在于，所述该屈曲变形表达式下微分方程的不平衡差为：其中，m定义为4.根据权利要求3所述的直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，其特征在于，所述不平衡差项的平方在全拱范围内积分结果为：其中，π为不平衡差总和，l为拱结构两拱脚间的水平距离，sh()为双曲正弦函数。5.根据权利要求4所述的直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法，其特征在于，所述对该误差平方的积分求偏导为：
其中：6.根据权利要求5所述的深部隧洞围岩裂隙演化方法，其特征在于，所述屈曲变形曲线系数为：7.根据权利要求6所述的深部隧洞围岩裂隙演化方法，其特征在于，所述拱结构面内屈曲荷载近似解析为：

技术总结
本发明提供一种直角坐标系下拱结构面内屈曲荷载近似解析方法。所述方法基于直角坐标系下拱结构面内弯曲应变表达式，以及拱结构屈曲后内力平衡条件，得到直角坐标系下拱结构面内屈曲变系数平衡微分方程；首先求解其对应的常系数微分方程满足边界条件下的屈曲变形曲线表达式，通过不平衡差分析得到屈曲变形曲线系数；最终得到拱结构面内屈曲荷载近似解析。本方法能够快速得到拱结构拱脚临界水平推力的近似结果，力学概念清晰、目标明确、方法简单，使得工程技术人员可以避免使用有限元软件求解，降低了工作量，有利于准确制定控制拱变形的措施，具有明显的技术经济合理性。具有明显的技术经济合理性。具有明显的技术经济合理性。


技术研发人员：胡常福 吕家标 段玉 罗文俊
受保护的技术使用者：华东交通大学
技术研发日：2023.05.04
技术公布日：2023/8/21