一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法

written in mathematica.structural and multidisciplinary optimization,2011,43(2):181-190。
8.[2]zegard t,paulino g h.grand—ground structure based topology optimization for arbitrary 2d domains using matlab.structural and multidisciplinary optimization,2014,50(5):861-882。


技术实现要素：

[0009]
本发明的目的是为了解决现有的基结构法在布置杆件节点时不考虑结构力学信息，无法合理化生成节点坐标的技术问题，提供一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法。
[0010]
为了达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：
[0011]
一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，包括以下步骤：
[0012]
步骤一：确定桁架基结构设计域及边界条件；
[0013]
具体内容和方法为：获取桁架基结构的设计域几何范围边界约束条件θω、以及载荷条件p。
[0014]
步骤二：对设计域进行有限元划分及求解，获取节点应力张量；
[0015]
具体内容和方法为：网格单元的节点张量表示为其中σ
x
和σy为正应力分量，τ
xy
为切应力分量，i为全体m个网格中第i个单元；
[0016]
步骤三：对应力张量特征值分解，确定主应力值及方向；
[0017]
具体内容和方法为：应力张量特征值分解写成如下形式：
[0018]
σv＝vd
[0019]
其中对角矩阵的元素σ1和σ2分别为第一主应力(拉应力)值和第二主应力值(压应力)；矩阵的两列v1和v2别为第一主应力(拉应力)方向向量和第二主应力(压应力)方向向量；
[0020]
步骤四：对单元节点主应力方向进行修正；
[0021]
具体内容和方法为：对矩阵v作如下修改，保证拉应力迹线及压应力迹线的走向分别保持一致：
[0022]
[0023]
步骤五：对现有网格进行delaunay三角剖分，插值计算单元内任意一点的主应力方向；
[0024]
步骤六：选择拉应力迹线和压应力迹线的起点；
[0025]
具体内容和方法为：主应力迹线起点选择遵循的原则是：
[0026]
(1)、拉应力迹线和压应力迹线的起点p0通常选择边界约束点：当边界约束是点约束时，该约束点及其附近周边点选做起点；当边界约束为线约束时，则将约束边上均分的节点选做起点；
[0027]
(2)、施加载荷点由于存在应力场不连续问题，通常选取其附近的节点作为起点；
[0028]
(3)、当结构存在对称性质，一般沿对称轴(或中性轴)对称选择点作为起点。
[0029]
步骤七：绘制拉应力迹线和压应力迹线；
[0030]
具体内容和方法为：根据步骤六中选择的主应力迹线起点p0，结合步骤五计算该点的主应力方向，以合理的步长s画一条线段，得到该迹线的下一个端点p1。
[0031]
p1＝p0+sv
i i＝1或2
[0032]
通常s取值为设计域最短边l
min
的千分之一，以兼顾数值误差积累及绘制时间成本。重复上述过程，依次得到迹线的其余端点p2、p3……
。当绘制的线段与设计域边界相交时，得到迹线的终点pn。按照顺序将上述节点连接，获得一条主应力迹线。然后根据步骤六的其他的起点位置，依次绘制出各拉应力迹线及压应力迹线。
[0033]
步骤八：计算所有主应力迹线的交点坐标；
[0034]
步骤九：以交点作为杆件节点，建立基结构杆件连接；
[0035]
具体内容和方法为：(1)、假设步骤八中的交点数为m，由于每两个节点可以构成一个杆件，则基结构中包含共线情况最多有个杆件；
[0036]
(2)、依次判断具有相同起点的各个杆件的共线情况，并进行杆件删减，当连接于a点的有杆ab及杆ac，且l
ab
＜l
ac
，则将两杆的夹角余弦记为其中为杆件ab的方向向量，考虑数值误差影响，将两杆共线时的余弦值用一个接近1的数coltol来代替，如coltol＝0.99999，即
[0037][0038]
遍历步骤八中的m个节点，根据杆件共线情况进行删减，获得无重叠杆件的满连接桁架基结构。
[0039]
步骤十：删除与设计域边界相交的杆件，获取最终桁架基结构；具体为：
[0040]
(1)、当设计域不包含凹区间，则无需进行杆件删减。
[0041]
(2)、当设计域包含凹区间(如半圆形)，则将该凹形状用具体的数学函数描述，其中k为凹区间数量；
[0042]
(3)、基结构中的所有杆件视为线段，并用数学函数ψj(j＝1,
…
h)描述，其中h为步骤九中得到基结构中杆件的数量；
[0043]
(4)、判断函数ψj与的相交情况，若两者联立有解，表明杆j与设计域凹区间i的
边界相交，即杆j部分位于设计域外，需要从基结构中删除该杆；反之，则表明杆j不与凹区间i的边界相交，即杆j全部位于设计域内，需要将该杆保留在基结构中。依次判断所有杆件与边界的相交情况并对其删减，直至所有保留的杆件都位于设计域内，其为最终的桁架基结构。
[0044]
本发明具有的优点和有益效果：
[0045]
1、本发明提供的基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法采用力传递路径的思路布置杆件的节点，使其位于结构的主要承载位置上，使得桁架中杆架的承载能力得以最大化。同时该设计策略符合michell桁架最优化准则，即在给定体积下，当桁架中的杆件沿着最大应变方向布置时所得结构的刚度最大。而对于各向同性材料，主应力方向与主应变方向一致。所以，沿着结构的主应力迹线方向布置桁架基结构，容易获得互相正交的杆件连接，以最大化其承载能力。
[0046]
2、本发明通过在基结构设计时结合结构的受力信息布置节点位置，使其更易接近其最佳坐标方位，从而可以简化后续结合优化程序，大大提高优化效率，提高获取全局最优解的可能性。
[0047]
3、由于结构主应力迹线的绘制过程对于任意形状设计域都是相同的，因此该基结构的构建不受桁架设计域几何的影响，即对于规则形状设计域和含凹区间的非规则形状设计域均合适，相对传统基结构法具有更广泛的适用性。
附图说明
[0048]
图1为本发明流程示意图，
[0049]
图2悬臂梁设计域及边界条件示意图，
[0050]
图3静力学有限元分析结果示意图，
[0051]
图4单元节点的主应力方向示意图，
[0052]
图5拉、压应力迹线分布示意图，
[0053]
图6基结构杆件节点位置示意图，
[0054]
图7桁架基结构杆件连接示意图。
具体实施方式
[0055]
下面结合附图，以悬臂梁结构桁架拓扑优化中基结构的设计为实例对本发明的技术方案做进一步详细说明。
[0056]
参照图1所示：本发明的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，具体步骤如下：
[0057]
步骤一、确定桁架基结构设计域及边界条件：悬臂梁结构拓扑优化设计区域ω的长度为l＝0.3m，宽度h＝0.1m。左端边界固定，在右边中点受到向下载荷f＝100n的作用，如图2所示。
[0058]
步骤二、对设计域进行有限元划分及求解，获取节点应力张量：本实例中利用comsol软件采用二阶lagrange正方形单元对设计域结构进行有限元网格划分，其边长为0.01m
×
0.01m，单元数量为300，节点数量为341。设定结构材料是铝6061t6，弹性模量e＝6.9e4mpa，泊松比μ＝0.33。进行静力学求解获取结构的应力场分布，进而提取网格节点的
应力张量信息，如图3所示。
[0059]
步骤三、对应力张量特征值分解，确定主应力值及方向：应力张量特征值分解可以写成如下形式：
[0060]
σv＝vd
[0061]
其中对角矩阵的元素σ1和σ2分别为第一主应力(拉应力)值和第二主应力值(压应力)；矩阵的两列分v1和v2别为第一主应力(拉应力)方向向量和第二主应力(压应力)方向向量。
[0062]
步骤四、对单元节点主应力方向进行修正：对矩阵v作如下修改：
[0063][0064]
保证拉应力迹线及压应力迹线的走向分别保持一致。其中拉应力和压应力方向向量互相垂直，其向量起点为步骤二中各个网格节点，如图4所示。
[0065]
步骤五、对现有网格进行delaunay三角剖分，插值计算单元内任意一点的主应力方向。
[0066]
步骤六、选择拉应力迹线和压应力迹线的起点：本实例中从左边固定边界上选取节点。由于悬臂梁该外载及约束条件下拉、压应力迹线对称分布，因此以y＝0.05为对称轴，上下对称间隔0.01选取拉、压迹线的起点p0。由于在左下角(0,0)和右上角(0,0.1)两处也可视为点约束，考虑数值误差，在其附近(0.01,0)及(0.01,0.1)也选取两个点作为迹线的起点p0，如图5所示。
[0067]
步骤七、绘制拉应力迹线和压应力迹线：根据步骤六中选择的主应力迹线起点，结合步骤五计算该点的主应力方向，以0.1mm作为步长画一条线段，得到第二个迹线端点p1。
[0068]
p1＝p0+sv
i i＝1或2
[0069]
重复上述过程，依次得到迹线的其余端点p2、p3……
。当绘制的线段与设计域边界相交时，得到迹线的终点pn。按照顺序将上述节点连接，获得一条主应力迹线。然后根据步骤六的其他的起点位置，依次绘制出各拉应力迹线及压应力迹线，如图5所示。
[0070]
步骤八：计算所有主应力迹线的交点坐标：由于同种类型的应力迹线不会相交，只需要考虑不同种类迹线之间的相交情况即可。本实例中拉应力迹线和压应力迹线共有35个交点，如图6中虚线方框所示。此外加上左边边界约束点12个、右端载荷施加点1个，一共有48个节点用以构建杆件基结构。
[0071]
步骤九：以交点作为杆件节点，建立基结构杆件连接，具体为：
[0072]
(1)、假设步骤八中的交点数为m，由于每两个节点可以构成一个杆件，则基结构中
包含共线情况最多有个杆件；本实例中共有48个节点，可以组成1128个杆件连接。
[0073]
(2)、依次判断具有相同起点的各个杆件的共线情况，并进行杆件删减，当连接于a点的有杆ab及杆ac，且l
ab
＜l
ac
，则将两杆的夹角余弦记为其中为杆件ab的方向向量，考虑数值误差影响，将两杆共线时的余弦值用一个接近1的数coltol来代替，如coltol＝0.99999，即
[0074][0075]
遍历步骤八中的m个节点，根据杆件共线情况进行删减，获得无重叠杆件的满连接桁架基结构。本实例的基结构中节点数目为48，由其组成的不包含共线情况的桁架杆件数量为1046，如图7所示。
[0076]
步骤十：删除与设计域边界相交的杆件，获取最终桁架基结构：具体为：
[0077]
(1)若设计域不包含凹区间，则无需进行杆件删减；
[0078]
(2)若设计域包含凹区间(如半圆形)，则将该凹形状用具体的数学函数描述，其中k为凹区间数量；
[0079]
(3)基结构中的所有杆件视为线段，并用数学函数ψj(j＝1,
…
h)描述，其中h为步骤九中得到基结构中杆件的数量。
[0080]
(4)判断函数ψj与的相交情况，若两者联立有解，表明杆j与设计域凹区间i的边界相交，即杆j部分位于设计域外，需要从基结构中删除该杆；反之，则表明杆j不与凹区间i的边界相交，即杆j全部位于设计域内，需要将该杆保留在基结构中。依次判断所有杆件与边界的相交情况并对其删减，直至所有保留的杆件都位于设计域内，其为最终的桁架基结构。
[0081]
本实例的设计区域不包含凹区间，无需要进行杆件删除，因此步骤九所得的桁架基结构即为最终所需结果，如图7所示。

技术特征：
1.一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤一：确定桁架基结构设计域及边界条件；步骤二：对设计域进行有限元划分及求解，获取节点应力张量；步骤三：对应力张量特征值分解，确定主应力值及方向；步骤四：对单元节点主应力方向进行修正；步骤五：对现有网格进行delaunay三角剖分，插值计算单元内任意一点的主应力方向；步骤六：选择拉应力迹线和压应力迹线的起点；步骤七：绘制拉应力迹线和压应力迹线；步骤八：计算所有主应力迹线的交点坐标；步骤九：以交点作为杆件节点，建立基结构杆件连接；步骤十：删除与设计域边界相交的杆件，获取最终桁架基结构。2.根据权利要求1所述的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征在于，步骤一，所述确定桁架基结构设计域及边界条件的具体内容和方法为：获取桁架基结构的设计域几何范围边界约束条件以及载荷条件p。3.根据权利要求1所述的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征在于，步骤二，所述对设计域进行有限元划分及求解，获取节点应力张量的具体内容和方法为：网格单元的节点张量表示为其中σ
x
和σ
y
为正应力分量，τ
xy
为切应力分量，i为全体m个网格中第i个单元。4.根据权利要求1所述的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征在于，步骤三，所述对应力张量特征值分解，确定主应力值及方向的具体内容和方法为：应力张量特征值分解写成如下形式：σv＝vd其中对角矩阵的元素σ1为第一主应力，即拉应力值；σ2为第二主应力值，即压应力值；矩阵的列v1为第一主应力，即拉应力的方向向量；v2为第二主应力，即压应力的方向向量。5.根据权利要求1所述的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征在于，步骤四，所述对单元节点主应力方向进行修正的具体内容和方法为：对矩阵v作如下修改，保证拉应力迹线及压应力迹线的走向分别保持一致：
6.根据权利要求1所述的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征在于，步骤六，所述选择拉应力迹线和压应力迹线的起点，遵循的原则是：(1)、拉应力迹线和压应力迹线的起点p0通常选择边界约束点：当边界约束是点约束时，该约束点及其附近周边点选做起点；当边界约束为线约束时，则将约束边上均分的节点选做起点；(2)、施加载荷点由于存在应力场不连续问题，通常选取其附近的节点作为起点；(3)、当结构存在对称性质，则沿对称轴或中性轴对称选择点作为起点。7.根据权利要求1所述的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征在于，步骤七，所述绘制拉应力迹线和压应力迹线的具体内容和方法为：根据步骤六中选择的主应力迹线起点p0，结合步骤五计算该点的主应力方向，以合理的步长s画一条线段，得到该迹线的下一个端点p1：p1＝p0+sv
i
i＝1或2通常s取值为设计域最短边l
min
的千分之一，以兼顾数值误差积累及绘制时间成本；重复上述过程，依次得到迹线的其余端点p2、p3……
；当绘制的线段与设计域边界相交时，得到迹线的终点p
n
；按照顺序将上述节点连接，获得一条主应力迹线；然后根据步骤六的其他的起点位置，依次绘制出各拉应力迹线及压应力迹线。8.根据权利要求1所述的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征在于，步骤九，所述以交点作为杆件节点，建立基结构杆件连接的具体内容和方法为：(1)、设步骤八中的交点数为m，由于每两个节点可以构成一个杆件，则基结构中包含共线情况最多有个杆件；(2)、依次判断具有相同起点的各个杆件的共线情况，并进行杆件删减，当连接于a点的有杆ab及杆ac，且l
ab
＜l
ac
，则将两杆的夹角余弦记为其中为杆件ab的方向向量，考虑数值误差影响，将两杆共线时的余弦值用一个接近1的数coltol来代替，如coltol＝0.99999，即遍历步骤八中的m个节点，根据杆件共线情况进行删减，获得无重叠杆件的满连接桁架基结构。9.根据权利要求1所述的一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，其特征
在于，步骤十，所述删除与设计域边界相交的杆件，获取最终桁架基结构的具体内容和方法为：(1)当设计域不包含凹区间，则无需进行杆件删减；(2)当设计域包含凹区间，如半圆形，则将该凹形状用具体的数学函数描述，其中k为凹区间数量；(3)基结构中的所有杆件视为线段，并用数学函数ψ
j
(j＝1,
…
h)描述，其中h为步骤九中得到基结构中杆件的数量；(4)判断函数ψ
j
与的相交情况，当两者联立有解，表明杆j与设计域凹区间i的边界相交，即杆j部分位于设计域外，需要从基结构中删除该杆；反之，则表明杆j不与凹区间i的边界相交，即杆j全部位于设计域内，需要将该杆保留在基结构中；依次判断所有杆件与边界的相交情况并对其删减，直至所有保留的杆件都位于设计域内，其为最终的桁架基结构。

技术总结
本发明公开了一种基于结构主应力迹线的桁架基结构的设计方法，包括以下步骤：确定桁架基结构设计域及边界条件；对设计域进行有限元划分及求解，获取节点应力张量；对应力张量特征值分解，确定主应力值及方向；对单元节点主应力方向进行修正；对现有网格进行Delaunay三角剖分，插值计算单元内任意一点的主应力方向；选择拉应力迹线和压应力迹线的起点；绘制拉应力迹线和压应力迹线；计算所有主应力迹线的交点坐标；以交点作为杆件节点，建立基结构杆件连接；删除与设计域边界相交的杆件，获取最终桁架基结构本发明解决了解决了传统基于规则节点分布构建桁架基结构方法无法准确描述杆件分布信息，且节点位置分布不合理的技术问题。问题。问题。


技术研发人员：高阁 徐凡 徐江敏 吴玉梅
受保护的技术使用者：江苏科技大学
技术研发日：2023.04.18
技术公布日：2023/8/21