一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法

1.本发明涉及多轴运动控制技术领域，尤其涉及一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法。


背景技术：

2.两轴直驱伺服进给系统是高档数控装备中实现高精密平面运动的主要功能部件，由两台直线电机驱动，具有快响应、高可靠性和高精度优点。同传统的旋转电机驱动数控机床相比，采用直线电机驱动的数控机床取消了滚珠丝杠和齿轮等中间传动环节，能够获得更大的加、减速度，更高精度和可靠性，已成为精密驱动和传动领域的研究热点。因此，以两轴直驱伺服进给平台为研究对象展开研究，对于促进我国高端数控装备的发展有重要的意义。
3.提高数控机床加工精度是其发展的核心目标。由于两轴直驱运动平台通常用于加工复杂型面工件，这要求加工过程中不仅需要保证单轴电机的位置跟踪精度，还需确保对任意输入轨迹的轮廓跟踪精度。由于直接驱动传动系统取消中间传动环节，实现源动力与负载的刚性耦合，导致非线性摩擦力、端部效应、外部扰动、齿槽效应等不确定性因素会直接作用于电机动子上，从而影响跟踪精度。此外，轮廓误差是评估多轴直驱数控机床加工精度的重要指标，主要受到单轴跟踪误差和多轴联动协调性的影响，尤其是当期望轮廓为大曲率复杂轨迹时，轮廓误差会显著增加。
4.然而，尽管近些年来许多国内外专家学者致力于提高多轴运动控制轮廓加工性能的方法研究中，但大多研究侧重于对轮廓加工精度和加工速度的提高，并未考虑所设计的控制器应用于实际加工过程中消耗电能的多少。由于数控进给驱动系统作为最基础的制造单元装备，在加工过程中耗能巨大。为此，在设计控制器时需要权衡加工品质与能耗之间的关系。
5.因此，如何很好地克服参数变化、外部扰动等不确定因素和轴间耦合、参数不匹配等问题对系统的影响，需要建立精确计算轮廓误差的模型和系统非线性动力学模型并设计合适的轮廓控制器，从而提高两轴直驱伺服进给系统的轮廓跟踪性能和鲁棒性能。


技术实现要素：

6.针对现有技术的不足，本发明提供一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法。
7.一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法，具体包括以下步骤：
8.步骤1：建立两轴直驱伺服进给系统的等效轮廓误差模型，通过将单轴期望位置与实际位置作差计算得到位置跟踪误差，并利用坐标变换方法推导出等效轮廓误差；
9.步骤1.1：输入两轴直驱伺服进给系统中x轴电机和y轴电机的期望位置信号，两台永磁直线同步电动机接收到期望位置信号开始运动；
10.步骤1.2：通过霍尔传感器采集两台永磁直线同步电动机动子的实际电流；通过光
栅尺检测两台永磁直线同步电动机的实际位置和速度；
11.步骤1.3：利用步骤1.1中的期望位置信号和步骤1.2所得到的两台永磁直线同步电动机的实际位置，将两者作差，计算出x轴位置跟踪误差和y轴位置跟踪误差，通过单轴位置跟踪误差推导出等效轮廓误差，如下：
12.定义γ为固定坐标系，其横纵轴分别为x轴和y轴，代表两个进给驱动轴，在坐标系γ下，c为期望轮廓，cr为实际轮廓，ec为轮廓误差，与加工零件的形状直接相关，t时刻期望位置为r＝[r
x
,ry]
t
，其中r
x
为x轴电机的期望位置，ry为y轴电机的期望位置；实际位置为q＝[q
x
,qy]
t
，其中q
x
为x轴电机的实际位置，qy为y轴电机的实际位置；各轴的跟踪误差定义为
[0013]
e＝q-r＝[e
x
,ey]
t
ꢀꢀ
(1)
[0014]
式中，e为跟踪误差，其中e
x
为x轴电机的位置跟踪误差，ey为y轴电机的位置跟踪误差；
[0015]
在期望位置r处，建立坐标系γa，其两个坐标轴分别为t与n，t轴在c处与r相切，轴n与轴t相垂直，则在坐标系γa下的方向向量为
[0016][0017][0018]
式中，t
x
为x轴电机在t坐标轴方向上的位置分量；ty为y轴电机在t坐标轴方向上的位置分量；n
x
为x轴电机在n坐标轴方向上的位置分量；ny为y轴电机在n坐标轴方向上的位置分量；为期望位置的导数；
[0019]
根据式(2)、(3)，并结合式(1)，得在γa坐标系下的位置跟踪误差为
[0020]
ea＝[e
t
,en]
t
＝λ
teꢀꢀ
(4)
[0021]
式中，ea为在γa下的跟踪误差；e
t
和en分别为与期望轮廓c上位置r处相切和垂直的误差分量；为由位置分量所构成的矩阵。
[0022]
假设期望位置r和期望轨迹上的点s之间的距离近似等于切向误差e
t
，且沿该段的期望速度恒定，则r到s这段距离之间的速度等于r处的期望速度；因此，从s运动到r所需时间表示为
[0023][0024]
定义瞬时时间为在位置s处，建立坐标系γb，其两个坐标轴分别为与则在坐标系γb下t时刻方向向量为
[0025][0026][0027]
式中，为x轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为y轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为x轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为y轴电机在坐标轴方向上的位置分量；表示坐标系γb中坐标轴下t时刻的方向向量等于坐标系γa中t坐标轴下
时刻的方向向量；表示坐标系γb中坐标轴下t时刻的方向向量等于坐标系γa中n坐标轴下时刻的方向向量。
[0028]
根据式(6)、(7)，结合式(1)，得在γb坐标系下的跟踪误差为
[0029][0030]
式中，eb为在γb坐标系下的跟踪误差；和分别为在与坐标轴方向上的误差分量；表示是时刻位置分量所构成的矩阵。
[0031]
建立坐标系γc，其两个坐标轴分别为与将eb转换到坐标系γc下表示为
[0032][0033][0034]
式中，ec为在γc下的跟踪误差；和分别为在与坐标轴方向上的误差分量；为修正位置，其中表示其在轴上的位置分量，0表示其在轴上的位置分量；f为对角矩阵diag{0,1}；为时刻的期望位置。
[0035]
至此，等效轮廓误差模型建立完成，即等效轮廓误差是将最终得到的误差分量来等效轮廓误差ec。
[0036]
步骤2：建立两轴直驱伺服进给系统的非线性动力学模型，包括机械运动方程和改进自适应lugre摩擦模型；
[0037]
步骤2.1：建立两轴直驱伺服进给系统的机械运动方程，表示为
[0038][0039]
式中，q为动子位置；为动子位置的二阶导数；m＝diag[m
x
,my]为动子质量，其中diag[
·
]表示对角阵，m
x
和my分别为x轴电机与y轴电机的动子质量；d＝[d
x
,dy]
t
为扰动量，包含系统的参数变化和负载扰动，其中d
x
和dy表示x轴电机与y轴电机中存在的扰动量；ff＝[f
fx
,f
fy
]
t
为非线性摩擦力，其中f
fx
和f
fy
表示x轴电机与y轴电机中受到的非线性摩擦力；fe＝[f
ex
,f
ey
]
t
为电磁推力，其中f
ex
和f
ey
表示x轴电机与y轴电机的电磁推力，表示为
[0040]
fe＝kfiqꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(12)
[0041]
式中，kf＝diag[k
fx
,k
fy
]为电磁推力系数，其中k
fx
和k
fy
分别为x轴电机与y轴电机的电磁推力系数；iq＝[i
qx
,i
qy
]
t
为q轴电流，其中i
qx
和i
qy
分别为x轴电机与y轴电机的q轴电流。
[0042]
步骤2.2：单独考虑非线性摩擦力对系统的影响并进行补偿，未将非线性摩擦力包含到扰动量d＝[d
x
,dy]
t
中，设计改进自适应lugre摩擦模型，具体如下：
[0043]
传统的lugre摩擦力模型表示为
[0044][0045][0046]
式中，z为不可测的摩擦状态；σ0》0为标称静摩擦参数；γ0、γ1、υ为刚度、阻尼系数和粘滞摩擦系数；用于描述stribeck效应，为
[0047][0048]
式中，fc和fs分别为库伦摩擦和静摩擦；vs为stribeck速度。
[0049]
将式(14)代入到式(13)中，得
[0050][0051]
式中，γ2＝γ1+υ；
[0052]
由于z为不可测的摩擦状态，需要采用状态观测器来观测，设计为
[0053][0054]
式中，为z的估计值；l为未知外部干扰；
[0055]
提出改进自适应lugre摩擦模型，采用nurbs样条函数表示直线伺服电机的位置，改进自适应lugre摩擦模型中刚度参数γ0、γ1、υ表示为
[0056][0057][0058][0059]
式中，k为nurbs样条的阶数；m为拟合基准点数；γ
0j
、γ
1j
、γ
2j
为第j个拟合基准点的刚度参数；l＝1,
…
,m；s
l,k
(q)为k阶样条函数，为
[0060][0061]
式中，[t1,t2,
…
,t
m+k-1
,t
m+k
]为一组节点向量，满足t
l+1
≥t
l
；
[0062]
将式(18)-式(21)代入到式(16)中，即得到改进的自适应lugre摩擦模型，取m为电机极对数，则tk为第一对磁极位置，t
k+m
为最后一对磁极位置；
[0063]
步骤3：根据步骤1和2中所建立的等效轮廓误差模型和系统非线性动力学模型，执行自适应非线性滑模轮廓控制算法，提高系统的轮廓跟踪性能并降低系统能耗；
[0064]
步骤3.1：根据步骤1.3计算得出的等效轮廓误差，执行自适应非线性滑模轮廓控制算法；设计非线性滑模面表示为
[0065][0066]
式中，s∈r2×1为非线性滑模面，由线性项和非线性项组成；q∈r2×2为滑模面的线性增益矩阵，p∈r2×2为对称正定矩阵，i为单位矩阵；ζ∈r2×2为s中的非线性项，ζ选择为
[0067]
[0068][0069]
式中，e
jmax
、εj和均为正整定参数，用于调整|ζ|的最大界、最小界和变化率，sgn(ej)为误差信号ej的符号函数，因此，非线性项ζ随系统轮廓误差的变化而变化。
[0070]
步骤3.2：在滑模控制中，迫使系统状态点运动到滑模面s上，并满足理想滑模面s＝0，因此，式(22)计算得
[0071][0072]
为证明控制器设计的稳定性，选取李雅普诺夫函数为
[0073][0074]
根据式(25)，并对式(26)求导得
[0075][0076]
式中，y＝pec∈r2×1为中间矩阵。由于w为正定矩阵，ζ为含有负项的对角阵，得出为负定，能够保证系统在理想滑模面下的稳定性。
[0077]
根据式(1)及式(11)，在固定坐标系γ下，得
[0078][0079]
根据式(9)、(10)和式(28)，得
[0080][0081]
根据式(22)设计的非线性滑模面，假设期望速度和加速度已知，将式(28)代入式(29)中，并结合式(11)和(12)，得
[0082][0083]
式中，u＝iq为asmcc的控制输入；z∈r2×2为对角增益矩阵；g∈r2×2为对角矩阵，其对角线元素从不确定性d的最大界限中选择，表示为
[0084][0085]
式中，gi,i＝x,y表示x轴电机或y轴电机对应的对角矩阵；为的一个元素。
[0086]
步骤3.3：为解决滑模控制的抖振问题，采用饱和函数sat(s)替换式(30)中的sgn(s)，利用边界层δj减小抖振，设计为
[0087][0088]
设计自适应律使z通过系统轮廓误差值的大小而自动实时调整，自适应律设计为
[0089][0090]
式中，ρ为正常数；sm为与滑模面对角线元素相关的对角矩阵。
[0091]
因此，结合式(32)，将式(33)应用到式(30)中，得asmcc的控制律为
[0092][0093]
式(34)求得输出的自适应非线性滑模轮廓控制的控制律u，即为两轴直驱伺服进给系统的控制电流:；
[0094]
分析控制器的稳定性，确保在t
→
∞时，轮廓误差收敛到非线性滑模面s上，具体为：
[0095]
定义李亚普诺夫函数为
[0096][0097]
对式(35)求导，得
[0098][0099]
将式(28)和式(29)代入到式(36)得
[0100][0101]
将式(34)代入到式(37)，得
[0102][0103]
因此，结合式(31)，知为负定且有s
→
0。
[0104]
采用上述技术方案所产生的有益效果在于：
[0105]
本发明提供一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法，首先通过坐标变换的方式建立等效轮廓误差模型与含有非线性摩擦力补偿的系统动力学模型，而后，基于系统模型设计自适应非线性滑模轮廓控制方法，平衡轮廓跟踪误差和能耗之间的关系。本发明所设计的基于摩擦补偿的自适应非线性滑模轮廓控制方法能够大幅度提升复杂轮廓下的轮廓跟踪精度，具有计算量小、实现方便的特点，是提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的有效方法。采用上述方法，可以保证两轴直驱进给系统在减小轮廓误差的同时，减小能耗，实现高性能数控装备的精密轮廓加工和节能优化要求，具有潜在的工程实用价值。
附图说明
[0106]
图1为本发明实施例提供的跟踪误差与轮廓误差的示意图；
[0107]
图2为本发明实施例提供的x轴电机动力学模型简化框图；
[0108]
图3为本发明实施例提供的自适应非线性滑模轮廓控制框图；
[0109]
图4为本发明实施例提供的星形期望轨迹下自适应非线性滑模轮廓控制的轮廓误
差曲线图；
[0110]
图5为本发明实施例提供的星形期望轨迹下自适应非线性滑模轮廓控制的控制输入曲线图；
[0111]
图6为本发明实施例提供的花瓣期望轨迹下自适应非线性滑模轮廓控制的轮廓误差曲线图；
[0112]
图7为本发明实施例提供的花瓣期望轨迹下自适应非线性滑模轮廓控制的控制输入曲线图。
具体实施方式
[0113]
下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。
[0114]
一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法，其中利用等效轮廓误差方法得到系统轮廓误差，利用nurbs样条函数建立自适应lugre摩擦模型，基于上述模型，设计自适应非线性滑模轮廓控制，能够有效提高系统的轮廓跟踪精度和鲁棒性。具体包括以下步骤：
[0115]
步骤1：建立两轴直驱伺服进给系统的等效轮廓误差模型，通过将单轴期望位置与实际位置作差计算得到位置跟踪误差，并利用坐标变换方法推导出等效轮廓误差；
[0116]
步骤1.1：输入两轴直驱伺服进给系统中x轴电机和y轴电机的期望位置信号，两台永磁直线同步电动机接收到期望位置信号开始运动；
[0117]
步骤1.2：通过霍尔传感器采集两台永磁直线同步电动机动子的实际电流；通过光栅尺检测两台永磁直线同步电动机的实际位置和速度；
[0118]
步骤1.3：利用步骤1.1中的期望位置信号和步骤1.2所得到的两台永磁直线同步电动机的实际位置，将两者作差，计算出x轴位置跟踪误差和y轴位置跟踪误差，通过单轴位置跟踪误差推导出等效轮廓误差，如下：
[0119]
本实施例中系统跟踪误差与轮廓误差的示意图如图1所示。定义γ为固定坐标系，其横纵轴分别为x轴和y轴，代表两个进给驱动轴，在坐标系γ下，c为期望轮廓，cr为实际轮廓，ec为轮廓误差，与加工零件的形状直接相关，t时刻期望位置为r＝[r
x
,ry]
t
，其中r
x
为x轴电机的期望位置，ry为y轴电机的期望位置；实际位置为q＝[q
x
,qy]
t
，其中q
x
为x轴电机的实际位置，qy为y轴电机的实际位置；各轴的跟踪误差定义为
[0120]
e＝q-r＝[e
x
,ey]
t
ꢀꢀ
(1)
[0121]
式中，e为跟踪误差，其中e
x
为x轴电机的位置跟踪误差，ey为y轴电机的位置跟踪误差；
[0122]
在机械加工中，轮廓误差直接关系到被加工零件的形状。然而，当期望轮廓c较为复杂时，很难直接获得实时轮廓误差值。为获得ec的近似值，通常可以采用等效轮廓误差方法。
[0123]
在期望位置r处，建立坐标系γa，其两个坐标轴分别为t与n，t轴在c处与r相切，轴n与轴t相垂直，则在坐标系γa下的方向向量为
[0124]
[0125][0126]
式中，t
x
为x轴电机在t坐标轴方向上的位置分量；ty为y轴电机在t坐标轴方向上的位置分量；n
x
为x轴电机在n坐标轴方向上的位置分量；ny为y轴电机在n坐标轴方向上的位置分量；为期望位置的导数；
[0127]
根据式(2)、(3)，并结合式(1)，得在γa坐标系下的位置跟踪误差为
[0128]
ea＝[e
t
,en]
t
＝λ
teꢀꢀ
(4)
[0129]
式中，ea为在γa下的跟踪误差；e
t
和en分别为与期望轮廓c上位置r处相切和垂直的误差分量；为由位置分量所构成的矩阵。
[0130]
通常，可将式(4)中的误差分量en视为实际轮廓误差的近似值。然而，当期望轨迹的曲率较大时，这种近似方法不是很准确。为避免该问题，假设期望位置r和期望轨迹上的点s之间的距离近似等于切向误差e
t
，且沿该段的期望速度恒定，则r到s这段距离之间的速度等于r处的期望速度；因此，从s运动到r所需时间表示为
[0131][0132]
定义瞬时时间为在位置s处，建立坐标系γb，其两个坐标轴分别为与则在坐标系γb下t时刻方向向量为
[0133][0134][0135]
式中，为x轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为y轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为x轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为y轴电机在坐标轴方向上的位置分量；表示坐标系γb中坐标轴下t时刻的方向向量等于坐标系γa中t坐标轴下时刻的方向向量；表示坐标系γb中坐标轴下t时刻的方向向量等于坐标系γa中n坐标轴下时刻的方向向量。
[0136]
根据式(6)、(7)，结合式(1)，得在γb坐标系下的跟踪误差为
[0137][0138]
式中，eb为在γb坐标系下的跟踪误差；和分别为在与坐标轴方向上的误差分量；表示是时刻位置分量所构成的矩阵。
[0139]
建立坐标系γc，其两个坐标轴分别为与将eb转换到坐标系γc下表示为
[0140][0141][0142]
式中，ec为在γc下的跟踪误差；和分别为在与坐标轴方向上的误差分量；为修正位置，其中表示其在轴上的位置分量，0表示其在轴上的位置分量；f
为对角矩阵diag{0,1}；为时刻的期望位置。
[0143]
至此，等效轮廓误差模型建立完成，即等效轮廓误差是将最终得到的误差分量来等效轮廓误差ec。
[0144]
步骤2：建立两轴直驱伺服进给系统的非线性动力学模型，包括机械运动方程和改进自适应lugre摩擦模型；
[0145]
步骤2.1：建立两轴直驱伺服进给系统的机械运动方程，表示为
[0146][0147]
式中，q为动子位置；为动子位置的二阶导数；m＝diag[m
x
,my]为动子质量，其中diag[
·
]表示对角阵，m
x
和my分别为x轴电机与y轴电机的动子质量；d＝[d
x
,dy]
t
为扰动量，包含系统的参数变化和负载扰动，其中d
x
和dy表示x轴电机与y轴电机中存在的扰动量；ff＝[f
fx
,f
fy
]
t
为非线性摩擦力，其中f
fx
和f
fy
表示x轴电机与y轴电机中受到的非线性摩擦力；fe＝[f
ex
,f
ey
]
t
为电磁推力，其中f
ex
和f
ey
表示x轴电机与y轴电机的电磁推力，表示为
[0148]
fe＝kfiqꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(12)
[0149]
式中，kf＝diag[k
fx
,k
fy
]为电磁推力系数，其中k
fx
和k
fy
分别为x轴电机与y轴电机的电磁推力系数；iq＝[i
qx
,i
qy
]
t
为q轴电流，其中i
qx
和i
qy
分别为x轴电机与y轴电机的q轴电流。
[0150]
本实施例中x轴电机动力学模型简化框图如图2所示。
[0151]
步骤2.2：对于两轴直驱伺服进给系统而言，摩擦力是其运行过程中不容忽视的非线性扰动，对系统的运行精度有较大影响，且会增加能耗。为此，本发明单独考虑非线性摩擦力对系统的影响并进行补偿，未将非线性摩擦力包含到扰动量d＝[d
x
,dy]
t
中，设计改进自适应lugre摩擦模型，具体如下：
[0152]
传统的lugre摩擦力是最广泛的描述摩擦动态行为的模型，表示为
[0153][0154][0155]
式中，z为不可测的摩擦状态；σ0》0为标称静摩擦参数；γ0、γ1、υ为刚度、阻尼系数和粘滞摩擦系数；用于描述stribeck效应，为
[0156][0157]
式中，fc和fs分别为库伦摩擦和静摩擦；vs为stribeck速度。
[0158]
将式(14)代入到式(13)中，得
[0159][0160]
式中，γ2＝γ1+υ；
[0161]
由于z为不可测的摩擦状态，需要采用状态观测器来观测，设计为
[0162]
[0163]
式中，为z的估计值；l为噪声等未知外部干扰；
[0164]
在实际应用中，式(16)中的lugre模型参数γ0、γ1、υ通常设置为常数，然而，由于机械磨损和运行环境的变化，这三个参数可能会随着电机的位置而发生变化，选取为常数不能准确地描述摩擦力的非线性动力学。
[0165]
为此，提出改进自适应lugre摩擦模型，采用nurbs样条函数表示直线伺服电机的位置，改进自适应lugre摩擦模型中刚度参数γ0、γ1、υ表示为
[0166][0167][0168][0169]
式中，k为nurbs样条的阶数；m为拟合基准点数；γ
0j
、γ
1j
、γ
2j
为第j个拟合基准点的刚度参数；l＝1,
…
,m；s
l,k
(q)为k阶样条函数，为
[0170][0171]
式中，[t1,t2,
…
,t
m+k-1
,t
m+k
]为一组节点向量，满足t
l+1
≥t
l
；
[0172]
将式(18)-式(21)代入到式(16)中，即得到改进的自适应lugre摩擦模型，取m为电机极对数，则tk为第一对磁极位置，t
k+m
为最后一对磁极位置；
[0173]
因此，采用nurbs样条函数表示的lugre摩擦模型可以表现摩擦力随每对磁极的函数变化，进而更准确地描述电机速度位置变化等因素引起的摩擦力改变，从而对摩擦力有效补偿，进而减小轮廓误差，降低摩擦力所造成的能耗。
[0174]
步骤3：根据步骤1和2中所建立的等效轮廓误差模型和系统非线性动力学模型，执行自适应非线性滑模轮廓控制算法，提高系统的轮廓跟踪性能并降低系统能耗；
[0175]
步骤3.1：根据步骤1.3计算得出的等效轮廓误差，即误差分量用来等效实际的轮廓误差ec，执行自适应非线性滑模轮廓控制算法；自适应非线性滑模轮廓控制框图如图3所示。
[0176]
在传统的滑模控制设计中，通常采用线性滑模面，无论误差大小，系统的阻尼比都保持不变。在控制系统中，最重要的要求是快速响应和小超调。然而，快速响应会产生较大的超调，从而增大轮廓误差，反之，小超调则影响系统的响应速度。因此，采用线性滑模面很难同时实现快速响应与小超调量。为此，在自适应非线性滑模轮廓控制中，设计非线性滑模面来权衡两者之间的矛盾，非线性滑模面表示为
[0177][0178]
式中，s∈r2×1为非线性滑模面，由线性项和非线性项组成；q∈r2×2为滑模面的线性增益矩阵，其选择应确保闭环系统中主导极点具有较小的阻尼比，因为主导极点所对应
的响应分量在系统响应中起主导作用，且q满足李雅普诺夫方程pq
t
+qp＝w，w为正定矩阵；p∈r2×2为对称正定矩阵，用于调整最终阻尼比；i为单位矩阵；ζ∈r2×2为s中的非线性项，用于改变系统的阻尼比，ζ选择为
[0179][0180][0181]
式中，e
jmax
、εj和均为正整定参数，用于调整|ζ|的最大界、最小界和变化率，sgn(ej)为误差信号ej的符号函数，因此，非线性项ζ随系统轮廓误差的变化而变化。
[0182]
通过分析可得出，在非线性滑模面中，线性项q包含一个阻尼比非常小的增益矩阵，用于促进系统的快速响应。非线性项ζ用于提供可变的系统阻尼比，以平衡闭环系统的快响应和小超调量。通过应用非线性滑模面，可使闭环系统的阻尼比从其初始低值变化为最终高值，阻尼比的初始低值用于提高快速响应，随后的高阻尼比用于减小超调并节省电能消耗。
[0183]
步骤3.2：在滑模控制中，控制律的设计是十分重要的，迫使系统状态点运动到滑模面s上，并满足理想滑模面s＝0，因此，式(22)计算得
[0184][0185]
为证明控制器设计的稳定性，选取李雅普诺夫函数为
[0186][0187]
根据式(25)，并对式(26)求导得
[0188][0189]
式中，y＝pec∈r2×1为中间矩阵。由于w为正定矩阵，ζ为含有负项的对角阵，得出为负定，能够保证系统在理想滑模面下的稳定性。
[0190]
根据式(1)及式(11)，在固定坐标系γ下，得
[0191][0192]
根据式(9)、(10)和式(28)，得
[0193][0194]
根据式(22)设计的非线性滑模面，假设期望速度和加速度已知，将式(28)代入式(29)中，并结合式(11)和(12)，得
[0195][0196]
式中，u＝iq为自适应非线性滑模轮廓控制算法的控制输入；z∈r2×2为对角增益矩
阵；g∈r2×2为对角矩阵，其对角线元素从不确定性d的最大界限中选择，表示为
[0197][0198]
式中，gi,i＝x,y表示x轴电机或y轴电机对应的对角矩阵；为的一个元素。
[0199]
步骤3.3：为解决滑模控制的抖振问题，采用饱和函数sat(s)替换式(30)中的sgn(s)，利用边界层δj减小抖振，设计为
[0200][0201]
此外，在式(30)设计的控制律中，控制增益z用于改善系统的动、静态性能。然而，由于z是恒定的，因此无论系统的轮廓性能如何，控制输入在系统运行时间内均会消耗相同的能量比。为此，为提高系统轮廓性能并减小能耗，设计自适应律使z通过系统轮廓误差值的大小而自动实时调整，自适应律设计为
[0202][0203]
式中，ρ为正常数；sm为与滑模面对角线元素相关的对角矩阵。从式(33)可以看出，控制增益z的值与滑模面有关，而滑模面式(22)的设计又包含系统的轮廓误差，因此，z(t)可以随着轮廓误差值的变化而实现在线实时调整，从而提高轮廓精度并减小能量消耗。
[0204]
因此，结合式(32)，将式(33)应用到式(30)中，得asmcc的控制律为
[0205][0206]
为分析控制器的稳定性，确保在t
→
∞时，轮廓误差收敛到非线性滑模面s上，具体为：
[0207]
定义李亚普诺夫函数为
[0208][0209]
对式(35)求导，得
[0210][0211]
将式(28)和式(29)代入到式(36)得
[0212][0213]
将式(34)代入到式(37)，得
[0214][0215]
因此，结合式(31)，知为负定且有s
→
0。
[0216]
式(34)求得输出的自适应非线性滑模轮廓控制的控制律u，即为两轴直驱伺服进
给系统的控制电流。
[0217]
为验证上述算法的有效性，选择两轴直驱运动平台的参数如下：x轴电机动子质量m
x
＝2kg，推力系数k
fx
＝24n/a，极距τ
x
＝2mm，粘滞摩擦系数b
x
＝244n
·
s/m，y轴电机动子质量my＝2kg，推力系数k
fy
＝35n/a，极距τy＝2mm，粘滞摩擦系数by＝82n
·
s/m。采用matlab/simulink进行仿真。
[0218]
根据上述两轴直驱运动平台参数，以及本发明中设计的基于摩擦补偿的自适应非线性滑模轮廓控制方法，经过反复调试，最终选取控制算法参数为：非线性滑模面中q＝diag[10,20]，p＝diag[2,3]，εj＝10、kj＝10、δj＝0.25；自适应律中ρ＝25。
[0219]
为测试所提出的ansmcc的轮廓运动性能，命令两轴直驱运动平台跟踪星形期望轮廓，平台在标称状态下空载运行。在星形期望轨迹下，本实施例中自适应非线性滑模轮廓控制的轮廓误差曲线和控制输入曲线如图4和图5所示。从图中可以看出，采用本发明中方法控制下的系统的轮廓跟踪误差约为-1.6～1.8μm，能够满足进给系统在加工时的精度要求。
[0220]
为测试本发明中所提出的方法克服扰动的能力，对系统给定花瓣期望轮廓轨迹，拖动2kg负载运行在参数变化条件(实际粘滞摩擦系数为标称值的1.5倍)，本发明提出的自适应非线性滑模轮廓控制的轮廓误差曲线和控制输入曲线如图6和图7所示。从两图中可以看出，采用本发明中方法的两轴直驱进给系统的轮廓跟踪误差约为-2～2μm，控制输入约为-1.8～1.8v。由此说明，本发明的方法可以减小轮廓跟踪误差，且对参数变化等不确定性具有较强的鲁棒性。
[0221]
以上描述仅为本公开的较佳实施例以及对所运用技术原理的说明。本领域技术人员应当理解，本公开的实施例中所涉及的发明范围，并不限于上述技术特征的特定组合而成的技术方案，同时也应涵盖在不脱离上述发明构思的情况下，由上述技术特征或其等同特征进行任意组合而形成的其它技术方案。例如上述特征与本公开的实施例中公开的(但不限于)具有类似功能的技术特征进行互相替换而形成的技术方案。

技术特征：
1.一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1：建立两轴直驱伺服进给系统的等效轮廓误差模型，通过将单轴期望位置与实际位置作差计算得到位置跟踪误差，并利用坐标变换方法推导出等效轮廓误差；步骤2：建立两轴直驱伺服进给系统的非线性动力学模型，包括机械运动方程和改进自适应lugre摩擦模型；步骤3：根据步骤1和2中所建立的等效轮廓误差模型和系统非线性动力学模型，执行自适应非线性滑模轮廓控制算法，提高系统的轮廓跟踪性能并降低系统能耗。2.根据权利要求1所述的一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法，其特征在于，所述步骤1具体包括以下步骤：步骤1.1：输入两轴直驱伺服进给系统中x轴电机和y轴电机的期望位置信号，两台永磁直线同步电动机接收到期望位置信号开始运动；步骤1.2：通过霍尔传感器采集两台永磁直线同步电动机动子的实际电流；通过光栅尺检测两台永磁直线同步电动机的实际位置和速度；步骤1.3：利用步骤1.1中的期望位置信号和步骤1.2所得到的两台永磁直线同步电动机的实际位置，将两者作差，计算出x轴位置跟踪误差和y轴位置跟踪误差，通过单轴位置跟踪误差推导出等效轮廓误差，如下：定义γ为固定坐标系，其横纵轴分别为x轴和y轴，代表两个进给驱动轴，在坐标系γ下，c为期望轮廓，c
r
为实际轮廓，e
c
为轮廓误差，与加工零件的形状直接相关，t时刻期望位置为r＝[r
x
,r
y
]
t
，其中r
x
为x轴电机的期望位置，r
y
为y轴电机的期望位置；实际位置为q＝[q
x
,q
y
]
t
，其中q
x
为x轴电机的实际位置，q
y
为y轴电机的实际位置；各轴的跟踪误差定义为e＝q-r＝[e
x
,e
y
]
t (1)式中，e为跟踪误差，其中e
x
为x轴电机的位置跟踪误差，e
y
为y轴电机的位置跟踪误差；在期望位置r处，建立坐标系γ
a
，其两个坐标轴分别为t与n，t轴在c处与r相切，轴n与轴t相垂直，则在坐标系γ
a
下的方向向量为下的方向向量为式中，t
x
为x轴电机在t坐标轴方向上的位置分量；t
y
为y轴电机在t坐标轴方向上的位置分量；n
x
为x轴电机在n坐标轴方向上的位置分量；n
y
为y轴电机在n坐标轴方向上的位置分量；为期望位置的导数；根据式(2)、(3)，并结合式(1)，得在γ
a
坐标系下的位置跟踪误差为e
a
＝[e
t
,e
n
]
t
＝λ
t
e
ꢀꢀ
(4)式中，e
a
为在γ
a
下的跟踪误差；e
t
和e
n
分别为与期望轮廓c上位置r处相切和垂直的误差分量；为由位置分量所构成的矩阵；假设期望位置r和期望轨迹上的点s之间的距离近似等于切向误差e
t
，且沿该段的期望
速度恒定，则r到s这段距离之间的速度等于r处的期望速度；因此，从s运动到r所需时间表示为定义瞬时时间为在位置s处，建立坐标系γ
b
，其两个坐标轴分别为与则在坐标系γ
b
下t时刻方向向量为下t时刻方向向量为式中，为x轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为y轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为x轴电机在坐标轴方向上的位置分量；为y轴电机在坐标轴方向上的位置分量；表示坐标系γ
b
中坐标轴下t时刻的方向向量等于坐标系γ
a
中t坐标轴下时刻的方向向量；表示坐标系γ
b
中坐标轴下t时刻的方向向量等于坐标系γ
a
中n坐标轴下时刻的方向向量；根据式(6)、(7)，结合式(1)，得在γ
b
坐标系下的跟踪误差为式中，e
b
为在γ
b
坐标系下的跟踪误差；和分别为在与坐标轴方向上的误差分量；表示是时刻位置分量所构成的矩阵；建立坐标系γ
c
，其两个坐标轴分别为与将e
b
转换到坐标系γ
c
下表示为下表示为式中，e
c
为在γ
c
下的跟踪误差；和分别为在与坐标轴方向上的误差分量；为修正位置，其中表示其在轴上的位置分量，0表示其在轴上的位置分量；f为对角矩阵diag{0,1}；为时刻的期望位置；至此，等效轮廓误差模型建立完成，即等效轮廓误差是将最终得到的误差分量e
n
来等效轮廓误差e
c
。3.根据权利要求1所述的一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法，其特征在于，所述步骤2具体包括以下步骤：步骤2.1：建立两轴直驱伺服进给系统的机械运动方程，表示为式中，q为动子位置；为动子位置的二阶导数；m＝diag[m
x
,m
y
]为动子质量，其中diag[
·
]表示对角阵，m
x
和m
y
分别为x轴电机与y轴电机的动子质量；d＝[d
x
,d
y
]
t
为扰动量，包含系统的参数变化和负载扰动，其中d
x
和d
y
表示x轴电机与y轴电机中存在的扰动量；f
f
＝[f
fx
,f
fy
]
t
为非线性摩擦力，其中f
fx
和f
fy
表示x轴电机与y轴电机中受到的非线性摩擦力；f
e
＝[f
ex
,f
ey
]
t
为电磁推力，其中f
ex
和f
ey
表示x轴电机与y轴电机的电磁推力，表示为f
e
＝k
f
i
q
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(12)
式中，k
f
＝diag[k
fx
,k
fy
]为电磁推力系数，其中k
fx
和k
fy
分别为x轴电机与y轴电机的电磁推力系数；i
q
＝[i
qx
,i
qy
]
t
为q轴电流，其中i
qx
和i
qy
分别为x轴电机与y轴电机的q轴电流；步骤2.2：单独考虑非线性摩擦力对系统的影响并进行补偿，未将非线性摩擦力包含到扰动量d＝[d
x
,d
y
]
t
中，设计改进自适应lugre摩擦模型，具体如下：传统的lugre摩擦力模型表示为传统的lugre摩擦力模型表示为式中，z为不可测的摩擦状态；σ0>0为标称静摩擦参数；γ0、γ1、υ为刚度、阻尼系数和粘滞摩擦系数；用于描述stribeck效应，为式中，f
c
和f
s
分别为库伦摩擦和静摩擦；v
s
为stribeck速度；将式(14)代入到式(13)中，得式中，γ2＝γ1+υ；由于z为不可测的摩擦状态，需要采用状态观测器来观测，设计为式中，为z的估计值；l为未知外部干扰；提出改进自适应lugre摩擦模型，采用nurbs样条函数表示直线伺服电机的位置，改进自适应lugre摩擦模型中刚度参数γ0、γ1、υ表示为、υ表示为、υ表示为式中，k为nurbs样条的阶数；m为拟合基准点数；γ
0j
、γ
1j
、γ
2j
为第j个拟合基准点的刚度参数；l＝1,
…
,m；s
l,k
(q)为k阶样条函数，为式中，[t1,t2,
…
,t
m+k-1
,t
m+k
]为一组节点向量，满足t
l+1
≥t
l
；将式(18)-式(21)代入到式(16)中，即得到改进的自适应lugre摩擦模型，取m为电机极
对数，则t
k
为第一对磁极位置，t
k+m
为最后一对磁极位置。4.根据权利要求1所述的一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法，其特征在于，所述步骤3具体包括以下步骤：步骤3.1：根据步骤1.3计算得出的等效轮廓误差，执行自适应非线性滑模轮廓控制算法；设计非线性滑模面表示为式中，s∈r2×1为非线性滑模面，由线性项和非线性项组成；q∈r2×2为滑模面的线性增益矩阵，p∈r2×2为对称正定矩阵，i为单位矩阵；ζ∈r2×2为s中的非线性项，ζ选择为为s中的非线性项，ζ选择为式中，e
jmax
、ε
j
和均为正整定参数，用于调整|ζ|的最大界、最小界和变化率，sgn(e
j
)为误差信号e
j
的符号函数，因此，非线性项ζ随系统轮廓误差的变化而变化；步骤3.2：在滑模控制中，迫使系统状态点运动到滑模面s上，并满足理想滑模面s＝0，因此，式(22)计算得为证明控制器设计的稳定性，选取李雅普诺夫函数为根据式(25)，并对式(26)求导得式中，y＝pe
c
∈r2×1为中间矩阵；由于w为正定矩阵，ζ为含有负项的对角阵，得出为负定，能够保证系统在理想滑模面下的稳定性；根据式(1)及式(11)，在固定坐标系γ下，得根据式(9)、(10)和式(28)，得根据式(22)设计的非线性滑模面，假设期望速度和加速度已知，将式(28)代入式(29)中，并结合式(11)和(12)，得
式中，u＝i
q
为asmcc的控制输入；z∈r2×2为对角增益矩阵；g∈r2×2为对角矩阵，其对角线元素从不确定性d的最大界限中选择，表示为式中，g
i
,i＝x,y表示x轴电机或y轴电机对应的对角矩阵；为的一个元素；步骤3.3：为解决滑模控制的抖振问题，采用饱和函数sat(s)替换式(30)中的sgn(s)，利用边界层δ
j
减小抖振，设计为设计自适应律使z通过系统轮廓误差值的大小而自动实时调整，自适应律设计为式中，ρ为正常数；s
m
为与滑模面对角线元素相关的对角矩阵；因此，结合式(32)，将式(33)应用到式(30)中，得asmcc的控制律为式(34)求得输出的自适应非线性滑模轮廓控制的控制律u，即为两轴直驱伺服进给系统的控制电流；分析控制器的稳定性，确保在t
→
∞时，轮廓误差收敛到非线性滑模面s上，具体为：定义李亚普诺夫函数为对式(35)求导，得将式(28)和式(29)代入到式(36)得将式(34)代入到式(37)，得因此，结合式(31)，知为负定且有s
→
0。

技术总结
本发明提供一种提高两轴直驱伺服进给系统轮廓跟踪精度的控制方法，涉及多轴运动控制技术领域。本发明通过坐标变换的方式建立等效轮廓误差模型与含有非线性摩擦力补偿的两轴直驱伺服进给系统动力学模型。而后，基于系统模型设计自适应非线性滑模轮廓控制方法，利用轮廓误差分量设计非线性滑模面，通过调整增益矩阵值，可以改变系统阻尼比，利用高阻尼比减小超调量降低能耗，利用低阻尼比加快系统响应速度，从而平衡轮廓跟踪误差和能耗之间的关系，实现两轴直驱进给系统的高精度和强鲁棒性运行。运行。运行。


技术研发人员：金鸿雁 王磊 赵希梅 李德豪 宫韫帏
受保护的技术使用者：沈阳工业大学
技术研发日：2023.03.20
技术公布日：2023/8/9